В представленных ниже рассуждениях попытаемся прояснить вопрос, что мы хотим найти. Как искать это более сложный вопрос, и это следующий этап. Основная цель, которую мы хотим достичь при построении МТС это получение прибыли (дохода), или увеличение капитала. Начнем с рассмотрения деталей процесса получения прибыли. В наших рассуждениях мы не будем претендовать на математическую строгость изложения материала. Зависимости не настолько сложны, чтобы они не могли прийти в голову разработчикам торговых систем, или были бы трудны для понимания, поэтому будем опускать очевидные математические преобразования и излишне подробные пояснения.

Для представления дохода Е, полученного на каждом шаге, воспользуемся простой формулой

Е_i₊₁ = Е_i + Ф(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) * К(С_i,Т_i), (1)

где: Е_i – доход на момент времени Т_i, или после i –го бара;

Е_i₊₁ – доход на момент времени Т_i₊₁, или после i+1 –го бара;

С_i₊₁ и С_i – цены закрытия соседних баров;

Ф(С_i,Т_i) – кусочно–постоянная функция, принимающая значения –1, 0, или +1, и имеющая различные периоды времени в течение, которых она постоянна;

К(С_i,Т_i) – функция, определяющая размер открываемой и удерживаемой позиции, выраженная в количестве акций.

Рассмотрим физический смысл произведения Ф(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i). При положительных значениях Ф(С_i,Т_i) = 1 к предыдущему значению Е_i прибавляется значение (С_i₊₁–С_i) с тем знаком, который этот множитель имеет на самом деле. Если принять Е₁= С₁ и Ф(С_i,Т_i) = 1 во всем диапазоне, то получим биржевой график, построенный по ценам закрытия баров. Периоды роста цен мы используем для получения прибыли при покупке. Чтобы обратить в свою пользу периоды снижения цен, необходимо на все время падения иметь значение Ф(С_i,Т_i) = –1. Эта функция зеркально отображает график цен вокруг уровня предыдущего закрытия С_i, то есть направляет график в сторону роста. Если согласовать знак функции Ф(С_i,Т_i) со знаком разности (С_i₊₁–С_i), таким образом, чтобы всегда иметь положительное значение произведения Ф(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i), то получим самую верхнюю оценку прибыли на любой момент времени, или

Е_i₊₁ = Е_i + | (С_i₊₁–С_i) | * К(С_i,Т_i) , (2)

В выражении (2) разность (С_i₊₁–С_i) берется по модулю. Это недосягаемый для нас предельный случай максимальной прибыли, которую могла заработать МТС на конкретной акции.

Функция Ф(С_i,Т_i) это результат работы МТС. Она принимает значения Ф(С_i,Т_i) = 1 при покупке, Ф(С_i,Т_i) = –1 при продаже и Ф(С_i,Т_i) = 0 при отсутствии позиции.

Рассмотрим функцию К(С_i,Т_i). Ее можно представить в виде

К(С_i,Т_i) = N(С_i,Т_i) * К_max, (3)

где: N(С_i,Т_i) – нормированная функция, меняющаяся в диапазоне от 0 до 1, то есть всегда положительна. Значение К_max может быть постоянной величиной, или в общем случае зависит от размера капитала.

В качестве N(С_i,Т_i) может выступать любая функция, меняющаяся от 0 до 1. Если N(С_i,Т_i) = 1 во всем диапазоне, то это означает, что мы каждый раз открываем позиции с одинаковым количеством акций. Если на каком–то интервале N(С_i,Т_i) = 0, это значит, что позиции нет, сигнал торговой системы игнорируется. Если N(С_i,Т_i) не постоянная ( или кусочно–постоянная), а кусочно–линейная, или не линейная функция, то в этом случае, осуществляется постепенный вход в рынок и постепенный выход из него.

Перепишем (1) с учетом (3) и получим

Е_i₊₁ = Е_i + Ф(С_i,Т_i) * N(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) * К_max, (4)

В этом выражении единственное существенное отличие функций Ф(С_i,Т_i) и N(С_i,Т_i) в том, что первая может принимать отрицательные значения, а вторая всегда положительна. Первая позволяет получить прибыльную торговую систему, а вторая – улучшить ее характеристики. Когда знак функции Ф(С_i,Т_i) не соответствует знаку (С_i₊₁–С_i) возникают дродауны (ДД).

Итак в (4) произведение Ф(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) – это вклад в получение прибыли от работы МТС, а N(С_i,Т_i) * К_max – вклад от управления открытой позицией, или вклад от управлением капиталом (сокращенно от английского названия – ММ). Комплекс N(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) * К_max представляет собой линейную деформацию разности цен. Подобным преобразованием можно выровнять кривую дохода, но нельзя исключить периоды снижения дохода, когда Ф(С_i,Т_i) и (С_i₊₁–С_i) имеют разные знаки, в результате чего произведение Ф(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) меньше нуля. Глубина и период ДД целиком зависят от качества МТС. В идеале, с помощью ММ величина ДД может быть уменьшена до нуля, если в течение всего времени нахождения в ДД не открывались позиции, то есть N(С_i,Т_i) =0.

В выражении (4) влияние МТС и ММ разделено. Процесс нахождения функций Ф(С_i,Т_i) и N(С_i,Т_i) можно проводить независимо друг от друга, но в любом случае начинать нужно с нахождения Ф(С_i,Т_i) с последующей оптимизацией с помощью подбора N(С_i,Т_i). Это обычная практика.

В выражении (4) можно ввести новую функцию S(С_i,Т_i) = Ф(С_i,Т_i) * N(С_i,Т_i). Это уже будет в общем случае кусочно–нелинейная функция, меняющаяся в диапазоне от –1 до +1. Функция S(С_i,Т_i) может меняться плавно, обеспечивая постепенный вход в рынок. Функция S(С_i,Т_i) это зависимость, описывающая результат работы МТС в общем виде. В такой МТС уже учтен размер открываемой и удерживаемой позиции. Величина К_max здесь характеризует лишь возможности отдельного пользователя МТС, то есть его капитал.

Перепишем (4) с учетом предыдущих обозначений

Е_i₊₁ = Е_i + S(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) * К_max, (5)

Здесь произведение S(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) выражает влияние МТС, в которой размер позиции вычисляется одновременно с генерацией сигналов на покупку и продажу.

Из (5) видно, что процесс поиска Ф(С_i,Т_i) и N(С_i,Т_i) можно объединить и искать сразу S(С_i,Т_i). Как лучше сделать каждый разработчик должен решить сам. Здесь этот вопрос рассматриваться не будет.

Идеальная МТС предполагает, что функция S(С_i,Т_i) будет иметь тот же знак, что и (С_i₊₁–С_i). Из условия построения кривой Е из участков (С_i₊₁–С_i) ценового графика следует, что наиболее эффективная МТС будет иметь одновременно максимальную доходность и минимальный ДД по открытым позициям.

Рассмотрим, в чем заключается конечный эффект влияния функции N(С_i,Т_i). Согласно теореме о среднем на каждом шаге выражения (4) можно записать

Е_i₊₁ = Е_i + Ф(С_i,Т_i) * N_ср * (С_i₊₁–С_i) * К_max.

Сравним предыдущее выражение с выражением

Е_i₊₁ = Е_i + Ф(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) * К_max, (6)

в котором отсутствует функция N(С_i,Т_i). Видно, что при вычислениях по формуле (6) получится заведомо больший доход Е_i₊₁, поскольку N(С_i,Т_i) в среднем будет меньше 1, или N_ср < 1. Это означает, что выравнивание кривой Е приводит к снижению эффективности.

Из предыдущих рассуждений следует, что в первую очередь нужно искать оптимальную функцию Ф(С_i,Т_i), поскольку она принимает и положительные и отрицательные значения, а функция N(С_i,Т_i) – только положительные. Для системы работающей только на лонг, или шорт различия между Ф(С_i,Т_i) и N(С_i,Т_i) практически полностью пропадают и можно заменить произведение одной функцией N_L(С_i,Т_i) для лонга, или N_S(С_i,Т_i) для шорта, меняющейся в диапазоне, соответственно от 0 до 1, или от 0 до –1.

Исходя из проделанных рассуждений, можно записать из чего складывается прибыль

Е_i₊₁ = Е_i + МТС(С_i,Т_i) * ММ(С_i,Т_i) (7)

В выражении стоит знак «*», а не «+». Это означает, что ММ(С_i,Т_i) есть переменный коэффициент линейного преобразования результатов работы МТС(С_i,Т_i). Таким образом, деформируя шкалу Е в системе координат (Е,Т) можно выровнять кривую дохода Е_i, однако нельзя устранить недостатки МТС, или повысить ее эффективность.

Рассмотрим случай когда величина К_max зависит от текущего размера капитала К. Текущий капитал складывается из начального капитала К₀ и текущей прибыли Е_i, то есть К_i = К₀ + Е_i. Размер открытой позиции можно выразить через К_i и значение С_i. Таким образом, заменим К_max на К_max = f * (К₀ + Е_i) / С_i. Здесь f – коэффициент использования капитала на каждую сделку, в общем случае переменный.

Перепишем (5) с учетом замечаний

Е_i₊₁ = Е_i + S(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) * f * (К₀ + Е_i) / С_i, (8)

Добавив к правой и левой частям (8) одно и тоже значение К₀, перейдем к формуле для капитала

К_i₊₁ = К_i + S(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) * f * К_i / С_i, (9)

Предположим, что функция S(С_i,Т_i) кусочно–постоянная, тогда можно перейти к суммированию результатов отдельных трейдов. Вид формулы не изменится. Будем только понимать под значением i – номер очередного трейда., а С_i₊₁ и С_i, соответственно, цены закрытия и открытия позиций. В этом случае интервалы, на которых, функция S(С_i,Т_i) будет иметь то или иное значение будут постоянны и равны 1 и следует заменить Т_i просто на i.

Выражение (9) перепишем в виде

К_i+1 = К_i * ( 1 + S(С_i,i) * (С_i+1–С_i) * f / С_i), (10)

Если в (10) заменить f на f = – F * С_i / R_max, где F – новый коэффициент пропорциональности, R_max величина максимального проигрыша, а R_i = S(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) – результаты трейдов, то можно записать

К_i+1 = К_i * ( 1 – R_i * F / R_max) (11)

Легко узнать в выражении (11) формулу Винса, которая используется для нахождения F_опт, при котором конечное значение К_М максимально (М – общее количество трейдов). Здесь R_max и все проигрыши берутся с минусом, а все выигрыши с плюсом.

Вернемся к исходному выражению (8)

Е_i₊₁ = Е_i + S(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) * f * (К₀ + Е_i) / С_i,

и посмотрим, из чего вытекают другие методы ММ.

Если капитала (К₀ + Е_i) всегда хватает для открытия позиции постоянного размера L = f * (К₀ + Е_i) / С_i = const, то это будет означать, что величина f, входящая в выражение (8), является переменной и зависящей от С_iи Е_i. Другими словами

f(С_i,Е_i) = L * С_i / (К₀ + Е_i). (12)

Если мы открываем позиции на весь капитал, находящийся в нашем распоряжении, то примем f = 1 и запишем

Е_i₊₁ = Е_i + S(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) * (К₀ + Е_i) / С_i.

Существует мнение, что работа с постоянным размером открытой позиции L означает отсутствие ММ. На это можно возразить следующим образом. С помощью формулы Винса можно найти оптимальное значение F_опт. Это один из методов ММ. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что ценность такого оптимального значения находится под вопросом. На каждом шаге i можно получить разные значения F_опт, которые не будут оптимальными для следующего шага. Однако для близко расположенных значений F_опт можно выбрать диапазон изменения f(С_i,Е_i) и с учетом выражений f = F * С_i / R_max и (12), во всем предыдущем историческом диапазоне изменения цен С_i от С_min до С_max можно подобрать размер позиции L, который обеспечит всегда работу в выбранном диапазоне f(С_i,Е_i). Таким образом, произвол с выбором F_опт пропадет и рынок сам будет регулировать величину F, через изменение капитала и текущих рыночных цен.

Аналогично, можно получить выражения и для других подходов к определению размера открытой позиции. Мы не будем подробно рассматривать все известные методы ММ. Все они вытекают из выражения (8), являются частным случаем (8) и каждый имеет свой результат. В основе всех результатов лежит влияние функции S(С_i,Т_i), характеризующей работу МТС.

Посмотрим на построение кривой Е с другой стороны. Для этого перепишем выражение (8), перенеся Е_i в левую часть.

Е_i₊₁ – Е_i = S(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) * f * (К₀ + Е_i) / С_i (13)

Легко заметить, что данное выражение напоминает конечно–разностную схему решения дифференциального уравнения.

Исходное дифференциальное уравнение, из которого может быть получено выражение (13) имеет вид

dE/dT = F_Е(С_i,Т_i), (14)

где: dE/dT – скорость изменения функции Е;

F_Е(С_i,Т_i) – проекция на направление Е (или С) величины внешнего воздействия. Величина F_Е(С_i,Т_i) зависит от разности цен (С_i₊₁–С_i) и отношения Е_i / С_i, то есть зависит от пройденного пути.

Движение по оси Т (ось времени) можно считать равномерным, если принять, что проекция внешнего воздействия на направление Т равна нулю.

Выражение (14) напоминает второй закон Ньютона. Как мы уже упоминали, если начальное значение Е₁=С₁, S(С_i,Т_i) =1 и произведение f * (К₀ + Е_i) / С_i = 1, то функция Е, которая будет решением уравнения (14) будет проходить через цены закрытий биржевого графика С(Т).

При таком подходе, наша задача заключается в поиске зависимости F_Е(С_i,Т_i), при которой функция Е является как можно более плавной и имеет, по возможности, как можно большую положительную производную в каждой точке и не имеет участков с отрицательной производной. Величина F_Е(С_i,Т_i) в общем случае ограничена возможностями конкретного рынка, на котором работает МТС и величиной капитала. Другими словами величина (С_i₊₁–С_i) * f * (К₀ + Е_i) / С_i не может принимать сколь угодно большое значение и может быть ограничена некоторой средней величиной в зависимости от реальных возможностей конкретного рынка, таких как ликвидность и волатильность. Поэтому, основной акцент при максимизации дохода Е должен быть направлен на его максимизацию за счет согласованного воздействия S(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i). Иначе говоря, искать следует МТС с максимальной доходностью, то есть максимизировать Е_i₊₁ = Е_i + S(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) за счет оптимального выбора функции S(С_i,Т_i), которая может быть принята по желанию кусочно–постоянной, кусочно–линейной, или кусочно–нелинейной, вплоть до непрерывной. Сначала необходимо выбрать класс базисных функций. Для каждого класса функций будут получаться разные результаты. В простейшем случае это может быть кусочно–линейная функция, принимающая значения либо +1, либо –1.

В заключение еще раз отметим, что целью разработки МТС является как можно более точное согласование сигналов S(С_i,Т_i) с будущим изменением цен (С_i₊₁–С_i). Это означает, что для эффективной работы МТС фактически требуется прогнозирование будущего изменения цен. Не точное прогнозирование может быть компенсировано быстрым реагированием на меняющуюся ситуацию путем ограничения величины проигрыша за одну сделку с использованием стоп–лосса. Смена знака функции S(С_i,Т_i) по стоп–лоссу должна присутствовать в МТС в обязательном порядке. Более эффективная система подразумевает то, что она имеет меньше участков, на которых не согласованы знаки S(С_i,Т_i) и (С_i₊₁–С_i). Дродауны возникают там, где произведение S(С_i,Т_i) * (С_i₊₁–С_i) меньше нуля. Таким образом, стремление построить более эффективную МТС включает автоматически условие минимизации величины ДД, вычисленного по открытым позициям, а следовательно и по закрытым позициям.

Есть подозрение, что постановка задачи минимизации ДД по закрытым позициям может привести к нежелательным результатам. Не исключено, что существует МТС, имеющая нулевой ДД по закрытым позициям, но эффективность такой системы тоже будет стремиться к нулю, и такая МТС может иметь очень большой ДД, вычисленный по открытым позициям.

Последнее замечание. Во всех формулах присутствует множитель (С_i₊₁–С_i), который показывает, что результаты, полученные с помощью одной и той же МТС и с применением одинаковых методов ММ будут целиком зависеть от конкретной акции. Это не означает, что для каждой акции нужно строить свою систему. Сравнивать работу МТС на различных акциях нужно не в абсолютных величинах Е_i, а по доле реализованных возможностей.

Не будем вдаваться в подробности, какие результаты в дальнейшем могут быть использованы в реальной работе. В качестве возможного критерия отбора МТС можно назвать, например, получение удовлетворительных результатов для большего числа акций. А главное получение устойчивого результата, слабо зависящего от варьируемых параметров, то есть желательно иметь слабую зависимость S(С_i,Т_i) от параметров оптимизации. Хорошо, когда таких параметров как можно меньше. Зависимость S(С_i,Т_i) в идеале должна отражать реальные процессы, происходящие на рынке акций и сразу давать хороший результат во всем диапазоне с последующей, незначительной подстройкой.

Продолжение следует…